EL LENGUAJE DE LAS MATEMÁTICAS (II Parte): Su gramática y ambiguedades

Una gramática formal es una estructura matemática con un conjunto de reglas de formación que definen las cadenas de caracteresadmisibles en un determinado lenguaje formal o lengua natural. Las gramáticas formales aparecen en varios contextos diferentes: lalógica matemática, las ciencias de la computación y la lingüística teórica, frecuentemente con métodos e intereses divergentes. 

 

Hay semejanzas entre el idioma de las matemáticas y los idiomas naturales; si miramos "oraciones matemáticas" tales como:

Vemos en ellas "objetos matemáticos": números, cojuntos, rectas, matrices,... Alguno de estos objetos son especificos y pueden ser considerados como los sustantivos del idioma. Otros objetos reprsentarse de muchas formas y se pueden interpretar como nombres colectivos.

 

 

También, hay incógnitas que se pueden asociar con los pronombres del idioma.

Los verbos de las matemáticas estarían representados por las relaciones entre los objetos y el estudio de estas relaciones es una parte importante de las matemáticas.

Otros símbolos representan operaciones que se realizan con los "objetos" , asociando dos o más objetos de la misma clase para crear un "nuevo objeto". 

El estudio de las operaciones y sus propiedades es otra parte importante del estudio de las matemáticas. Todo idioma tiene tiene un sistema de puntuación que indica cómo se deben agrupar las palabras para evitar ambiguedades. En matemáticas se usan los paréntesis para indicar qué operación se hace primero, 40/(10/20) no es lo mismo que (40/10)/2.

Al igual que cualquier otro idioma, las matemáticas van cambiando constantemente y se adaptan a las nuevas situaciones y a las nuevas exigencias del mundo que nos rodea. Según decía Pedro Puig Adam (1900-1960), el gran pedagogo y matemático español: "La primera raya que el pastor primitivo trazara para representar su primera oveja fue el primer símbolo matemático de la historia. Símbolos o rpresentaciones matemáticas han sido, asímismo, desde el primer tosco diseño de un campo en el papiro hasta la moderna descripción tensorial de la curvatura del Universo."

A pesar de su reputación de ciencia exacta, lógica y perfectamente rigurosa, existen en matemáticas algunas ambiguedades que se resuelven generalmente según su contexto, al igual que en cualquier otro idioma; teniendo en cuenta que la ambigüedad se refiere a la estructura de la gramática. Si cada cadena del lenguaje posee una única estructura entonces la gramática es no ambigua. En cambio si existe al menos alguna cadena del lenguaje con más de una estructura (árbol de derivación) entonces la gramática es ambigua. He aquí algunos ejemplos

 

Ejemplo 1:          E→ E+E | E∗ E | (E) | id 

 

La forma sentencial o cadena E+E*E puede generarse mediante 2 derivaciones a partir de E: 

 

1) E ⇒ E+E ⇒ id +E ⇒ id +E∗ E ⇒ id + id∗ E ⇒ id + id∗ id 

 

2) E ⇒ E∗ E ⇒ E+E∗ E ⇒ id +E∗ E⇒ id + id∗ E ⇒ id + id∗ id 

 

 

Ejemplo 2:

 

El signo = se usa con distintos significados:

  • a+b=b+a          identidad
  • x=x+1              "se transforma en" BASIC
  • 3+8=X              hallar el resultado (tecla de la calculadora)
  • V=a.b.c             fórmula para calcular el volumen
  • x=longitud del rectángulo; define un símbolo

Ejemplo 2:

 

El signo = se usa con distintos significados:

  • a+b=b+a          identidad
  • x=x+1              "se transforma en" BASIC
  • 3+8=X              hallar el resultado (tecla de la calculadora)
  • V=a.b.c             fórmula para calcular el volumen
  • x=longitud del rectángulo; define un símbolo

Otros Ejemplos:


32 significa treinta y dos, pero

31/2 significa 3 más 1/2, y si se usan letras en vez de números,


ab significa "a"  multiplicado por  "b", y 


fg significa que la función "f" actúa después de la función "g".


2/3 puede indicar:

  • de 3 partes, tomar 2
  • 2 dividido por 3
  • el número racional 2/3 

El signo (-) se usa para representar:

  • un número negativo: (-9
  • el inverso aditivo: (-a)
  • una sustracción: (a-b)

Sen2x  significa (senx)2  y  no sen(senx)

 

Sen-1x  significa arcsen(x)  y no 1/senx

 

f(x) representa la función f pero también el valor de la función para el valor de x.

 

Los parámetros pueden ser  a la vez constantes y variables.

 

Una tangente es a veces una recta, otras veces es una función trigonométrica o una relación entre dos lados de un triángulo.


Es conveniente mencionar que, ¡errores en el manejo de las matemáticas le pasan  cualquiera!, incluso al famoso físico Einstein, íntimo amigo de Gödel. En sus ecuaciones iniciales de su teoría de la relatividad general, Einstein cometió un error que le habría podido costar una desacreditación parcial, hecho del cual se daría cuenta, y corregiría a tiempo.

De esta manera, es posible observar que, la utilización cuidadosa de las matemáticas y una comprensión adecuada, puede evitar los problemas anteriores (aunque no siempre con finales deseados) y a su vez, incluso mejorar la comprensión de otras ramas de la ciencia, lo cual facilita la modelación del universo que percibimos.

MSc Liyuan Suárez


FUENTE:

  • HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
  • WIKIPEDIA
  • OTROS

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Comentarios: 1
  • #1

    Hector (lunes, 25 septiembre 2017 20:32)

    encontré un pequeño error en unos de sus párrafos:
    "El estudio de las operaciones y sus propiedades es otra parte importante del estudio de las matemáticas. Todo idioma 'tiene tiene' un sistema de puntuación que indica cómo se deben agrupar las palabras para evitar ambiguedades. En matemáticas se usan los paréntesis para indicar qué operación se hace primero, 40/(10/20) no es lo mismo que (40/10)/2."