CRISIS EN LAS MATEMÁTICAS: Primera Parte "Continuación"

PRIMERA PARTE: Continuación

Otra consecuencia importante del descubrimiento de las geometrías no euclideanas fue que, gracias a ellas, se enjuició el origen de los axiomas y del método axiomático en general: Platón y los "platonistas" de hoy no aceptan el origen experimental de los axiomas, pretenden que son producto del "pensamiento puro" de la "intuición innata" o de la "contemplación de las formas a prioro"

 

Esta doctrina afirma que las entidades abstractas, como son los números, los puntos y los conjuntos, existen independientemente de la mente humana; la mente las puede descubrir pero no las crea.

Otra escuela llamada "contructivismo" o "intuicionismo" solo acepta las entidades abstractas que la mente humana puede construir.

Después del descubrimiento de las geometrías no euclideanas, quedaba claro que los axiomas de la geometría euclidiana se habían originado en el mundo que nos rodea; también quedaba claro que un sistema axiomatico no tenía por qué estar relacionado con nuestro mundo real, podía ser un sistema abstracto, independiente de la influencia empírica de los sentidos y construido solo a partir de las reglas lógicas.

 

Esto inició una nueva corriente en matemáticas, llamada "matemática pura" que hace de las matemáticas una materia independiente, en la que los axiomas se eligen arbitrariamente, sin relación con el mundo físico.

Un interesante ejemplo de esta tendencia es el "modelo" de geometría no euclidiana descrito por Felix Klein (Alemania, 1849-1925) el cual presentare a continuación de una forma simplificada: 

Puesto que "punto", "recta" y "plano" son terminos primitivos (no se definen), podemos asignarles cualquier significado.

 

Se toma como "plano" el interior del círculo (como muestra la figura), "puntos" son los puntos interiores del círulo, "rectas" son las cuerdas del círculo. En la figura tenemos que P y Q son "puntos" de la "recta" g. U y V no son "puntos"  (no estan en el plano). En este sistema,  el quinto postulado no es válido: las "rectas" l y m que pasan por el "punto" R  no tienen  ningún "punto"  comun con la "recta" r; por lo tanto, ambas son paralelas a g. Los otros axiomas de la geometría euclidiana se verifican.

Este  ejemplo de matemática "pura" ha sido inspirado por los problemas "reales" de la geometría, pero la distinción entre matemática pura y aplicada no siempre es clara. Lo cierto es que las matemáticas se fueron transformando poco a poco en ciencia autónoma y empezaron a separarse cada vez más del mundo físico hasta transformarse en un sistema puramente formal, una especie de juego con sus símbolos y sus reglas que se deben seguir sin tener en cuenta si son útiles o no.

Resulta pertinente una comparación con el juego de ajedrez. Los "elementos primitivos" en ajedrez son las 32 piezas y el tablero; los "axiomas" son las descripciones de los movimientos de cada pieza, no son equivalentes, no son ni verdaderos ni falsos, son así, y se aceptan sin discutir. Las reglas del juego explican lo que hace cuando ocurren determinadas cosas, constituyen la "lógica" del sistema. Nadie se pregunta si el ajedrez  es verdadero o falso, lo único importante es saber si se siguen las reglas.

La tercera consecuencia importante de esta crisis en geometría fue buscar la "verdad" en otras partes de las matemáticas, en particular en la aritmética y el álgebra que, a mediados del siglos XIX, ya eran más importantes para las ciencias que la geometría.

 

Platón había dicho: "Dios geometriza";

 

 

Gustav J. Jacobi contesta: "Dios aritmetiza"

 

y Gauss afirma: "La verdad está en el número que es la base de la matemática, del álgebra, del cálculo infinitesimal y de otras ramas más altas del análisis".

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