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16

dic

2013

CRISIS EN LAS MATEMÁTICAS: Primera Parte

PRIMERA CRISIS

El primer sistema axiomático-deductivo conocido es el libro de geometría llamado ELEMENTOS, escrito por Euclides. Karl Popper, un importante filósofo contemporáneo de la ciencia, lo llamó "la teoría deductiva más importantae influyente jamás construida".

Euclides organizó el trabajo de todos los matemáticos que le habían precedido en una unidad bien estructurada, usando la lógica de Aristóteles y creando un modelo deductivo que por más de 2000 años se creyó perfecto e influenció la manera de pensar de la humanidad y también la enseñanza de las matemáticas en todas las escuelas del mundo.

 

Este último aspecto nunca se cuestionó hasta que Jean Dieudonné, en 1946, lanzo su famoso grito de "¡Abajo Euclides!".Hoy se sabe que los axiomas en los que se basó Euclides no permiten demostrar ni siquiera su primer teorema; pero también es cierto que la idea de rigor en una demostración ha ido cambiando, influenciada por la evolución de la cultura matemática. Lo que más preocupó a los matemáticos después de Euclides (también hizo cavilar a Euclides y a otros matemáticos de la época) fue el quinto axioma, el axioma de las paralelas: "Por un punto exterior a una recta dada se puede trazar una y solo una paralela a la misma".

Euclides establece que existe sólo una recta que pasa al mismo tiempo por un punto y sea paralela a otra recta dada. Es el Quinto Postulado de los Elementos de Euclides y se publica siendo más teorema que axioma lo cuál se convierte en el enigma más apasionante de la historia de la geometría clásica hasta el siglo XIX cuando aparecen las Geometrías No-Euclideanas, gracias precisamente, a la resolución de esta paradoja.

Los axiomas tenían que ser verdades "evidentes" y éste no lo era. Generaciones enteras de matemáticos de todas las culturas trataron de "demostrar" ese axioma a partir de los otros axiomas y hacer de él un teorema.

Uno de los intentos más famosos e interesantes fue el de Gerolamo Saccheri (Italia 1677-1733) quien supuso falso el quinto axioma y trató de llegar a una contradicción. No llegó a ninguna, pero los resultados que obtuvo eran demasiado estrafalarios para su época y resolvió que eran contrarios a la naturaleza de la línea recta" y que por lo tanto, "Euclides quedabe disculpado de cualquier error". Saccheri no sabía que había demostrado una serie de teoremas que hoy son parte de las geometrías no euclideanas.

Muchos matemáticos, comprendiendo que las conclusiones de saccheri no eran contradictorias, siguiero tratando de resolver el problema. El primero en llegar a una solución fue Carl F. Gauss, quien el 8 de noviembre de 1824 escribió a un amigo: "Los teoremas de esta geometría parecen paradójicos y, para los no iniciados, absurdos; pero un análisis sereno y metódico revela que no contienen nada que no sea posible" En otra carta decía que probablemente nunca publicaría esos resultados porque "tenía el griterío de los beocios"

La doctrina dominante de la época era la del filósofo alemán Immanuel Kant (1724-1804), para quien el espacio era euclideo "a priori", no producto de la experiencia.

Pero la solución de este antiguo problema estaba a punto de ser encontrada: Janos Bolyai (Hungría, 1802-1860) y Nicolai Ivanovitch Lobachevsky (Rusia, 1793-1856) llegaron a los mismos resultados que Gauss sin conocer su trabajo.

Bolyai llamó a su geometría "absoluta" (1832), lobachevsky llamó a la suya "imaginaria" (1829).

El nombre "Geometría no euclideana"  que prevalece hoy se debe a Gauss.

En los tres casos anteriores, el quinto axioma qudó: "Por un punto exterior a una recta dada,  se puede construir más de una paralela a la misma". 

En la característica de la "Geometría Hiperbólica". Pocos años después, en 1854,  Bernard Riemann (Alemania, 1826-1866) creó la "Geomería Elítica o Esférica" en la que "por un punto exterior a una recta dada, no se puede construir ninguna paralela a la misma". La geometría euclideana era ahora un caso especial entre estos dos tipos de geometría.

La superficie de la esfera constituye un ejemplo de geometría elíptica bidimensional. Sobre una esfera, la suma de los ángulos de untriángulo esférico no es igual a 180°. la superficie de una esfera no es un espacio euclideo, aunque localmente ambas geometrías se parecen mucho, para grandes distancias es dtectable la curvatura de la esfera. esto se refleja en que triángulos pequeños sobre la superficie de la esfera suman casi 90°, triángulos de mayor tamaño claramente suman más de 180°.

Estos descubrimientos trastornaron la manera de pensar de la comunidad matemática en el mundo entero y pasó mucho tiempo antes de que se aceptaran. Georg Cantor habló de la "ley de conservación de la ignorancia": "Cuando se llega a una conclusión falsa y está es aceptada extensamente, no es fácil renunciar a ella y, cuando menos se entienda, más tenazmente se conserva".

Max Planck (Alemania 1858-1947), el fundador de la mecánica cuántica, escribió: "Las nuevas verdades cientificas no triunfan convenciendo a sus oponentes y haciéndoles ver la luz, triunfan más bien porque fallecen los oponentes y la nueva generación se habitúa a las nuevas ideas".

La aparición de las geometrías no euclideanas planteó varias interrogantes como la siguientes.

  • ¿Cuál es el espacio físico en el que vivimos?

 

  • ¿Es el espacio euclideo, como se creía desde la época de Platón?

 

  • Y, si es un espacio no euclideo

 

  • ¿Cuál de ellos es?

La respuesta a esta pregunta es que la estructura geométrica de nuestro mundo no es homogénea. El macrouniverso parece explicarse mejor mediante la geometría hiperbólica, pero cuando se estudia a estructura molecular de la materia, la geometría elíptica parece dar una mejor aproximación. La geometría euclideana sigue siendo la más simple y es el mejor instrumento disponible para explicar el mundo que nos rodea (es la que se usa para llegar a la Luna) pero no para describir lo infinitamente pequeño ni lo infinitamente grande.

Al respecto escribe Henri Poincaré: "Que pensar de la pregunta ¿Es verdadera la geometría euclideana? La pregunta no tiene sentido; equivale a preguntar si el sistema métrico es verdadero y el antiguo sistema de pesas y medidas es falso; si las coordenadas coordenadas cartesianas son verdaderas y las polares son falsas.

"Una geometría no puede ser más verdadera que otra, solo puede ser más útil. Sin embargo, la geometría euclidiana es, y seguirá siendo la más útil. En primer lugar porque es la más simple y en segundo lugar porque concuerda con las propiedades de los cuerpos sólidos que comparamos y medimos con nuestro sentidos".

Continúa...

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